# 

# 一、微分方程

## 求微分方程的阶数

## 二阶常系数齐次线性微分方程

## 二阶常系数非齐次线性微分方程的第一种（特解）

# 二、向量代数与空间解析几何

## 求平面方程（点法式）

## 求直线方程（点向式）

## 向量运算（相加减、数量积、向量积）

# 三、多元函数及其微分法的应用

## 定义域、极限、偏导

## 求二阶偏导

## 复合函数求偏导

## 求微分（三元）

## 求极大值、极小值（$ac-b^2$）

# 四、重积分

## 交换积分次序

## 用极坐标计算二重积分（列式）

## 二重积分的几何意义（10-2：8、9、10）

## 三重积分的几何意义

## 二重、三重积分的性质（对一算二重、三重积分）

# 五、曲线积分与曲面积分

## 第二类曲线积分

## 第一类曲面积分

# 六、无穷级数

## 数项级数

### 判断正项级数收敛、发散$\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\right)$

**步骤：**

判断$\lim _{n \rightarrow \infty} u_n$是否为$0$

**不为0**则为**发散**

**为0**则判断$\mathrm{u}_{\mathrm{n}}$ 中能否提取出$n$次方项

能提出

### 判断交错级数收敛、发散$\left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_n\right.$ 或 $\left.\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^n u_n\right)$

### 判断绝对收敛、条件收敛



## 幂级数

### 收敛半径、收敛区间、收敛域

**步骤：**

1. 先算出$\left|\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\right|<1$的区间，可得到**收敛区间**
2. 把$\left|\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\right|<1$的式子化成$\left|x+?_1\right|<?_2$的形式，可得到$?_2$中的$？$为**收敛半径**
3. 把区间的两端分别代入原式的$x$中，那边带入后原式为**收敛**则**收敛域**的哪边为**闭区间**，可得到收敛域



**例1: 试求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{x}^{2 n}}{2 n}$ 的收敛区间、收敛域、收敛半径。**

$u_n=(-1)^n \frac{x^{2 n}}{2 n} \quad u_{n+1}=(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n+2}}{2(n+1)}$

$$\left|\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\left|\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n+2}}{2(n+1)}}{(-1)^n \frac{x^{2 n}}{2 n}}\right|=\left|\lim _{n \rightarrow \infty}(-1) \cdot \frac{n}{n+1} x^2\right|=x^2$$

令 $x^2<1 \Rightarrow-1<x<1$

**收敛区间为**$(-1,1)$

令 $x^2=1 \Rightarrow x= \pm 1$

当 $x=-1$ 时, 级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{(-1)^{2 n}}{2 n}$ 即 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{3 n}}{2 n}$ 即 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n}$ 收敛

当 $x=1$ 时, 级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1^{2 n}}{2 n}$ 即 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n}$ 收敛

**收敛域为** $[-1,1]$

$x^2<1 \Rightarrow|x|<1$ 

**收敛半径为 1**