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一、微分方程

二、向量代数与空间解析几何

三、多元函数及其微分法的应用

四、重积分

五、曲线积分与曲面积分

六、无穷级数

步骤：

判断$\lim _{n \rightarrow \infty} u_n$是否为$0$

不为0则为发散

为0则判断$\mathrm{u}_{\mathrm{n}}$ 中能否提取出$n$次方项

能提出

步骤：

  1. 先算出$\left|\lim {n \rightarrow \infty} \frac{u{n+1}}{u_n}\right|<1$的区间，可得到收敛区间
  2. 把$\left|\lim {n \rightarrow \infty} \frac{u{n+1}}{u_n}\right|<1$的式子化成$\left|x+?_1\right|<?_2$的形式，可得到$?_2$中的$？$为收敛半径
  3. 把区间的两端分别代入原式的$x$中，那边带入后原式为收敛则收敛域的哪边为闭区间，可得到收敛域

例1: 试求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{x}^{2 n}}{2 n}$ 的收敛区间、收敛域、收敛半径。

$u_n=(-1)^n \frac{x^{2 n}}{2 n} \quad u_{n+1}=(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n+2}}{2(n+1)}$

$$\left|\lim {n \rightarrow \infty} \frac{u{n+1}}{u_n}\right|=\left|\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n+2}}{2(n+1)}}{(-1)^n \frac{x^{2 n}}{2 n}}\right|=\left|\lim _{n \rightarrow \infty}(-1) \cdot \frac{n}{n+1} x^2\right|=x^2$$

令 $x^2<1 \Rightarrow-1<x<1$

收敛区间为$(-1,1)$

令 $x^2=1 \Rightarrow x= \pm 1$

当 $x=-1$ 时, 级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{(-1)^{2 n}}{2 n}$ 即 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{3 n}}{2 n}$ 即 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n}$ 收敛

当 $x=1$ 时, 级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1^{2 n}}{2 n}$ 即 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n}$ 收敛

收敛域为 $[-1,1]$

$x^2<1 \Rightarrow|x|<1$

收敛半径为 1

更新于 0001-01-01
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